Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为（）．点在上，，△的周长为，面积为．

（1）求的方程；

（2）过的直线与交于两点，以为直径的圆与直线相切，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）依题意知△的周长为，得，又由△的面积，求得，得出，联立方程组，求得的值，即可得到椭圆的方程；

（2）设直线的方程为，，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，再由弦长公式得，得出以为直径的圆的圆心坐标与半径，再利用圆与直线相切，解得，即可得到答案．

（1）设椭圆，

依题意知△的周长为，得，…①

又因为，所以，

所以△的面积，

所以，即…②，

联立①②解得，则，

所以的方程为．

（2）当直线斜率为0时，不满足题意．

设直线的方程为，，

由消去，得，

从而，

所以

，

设以为直径的圆的圆心，半径为，则，

又，,

又因为圆与直线相切，则，即，解得．

所以直线的方程为，即