Question

【题目】已知抛物线的焦点为，过点垂直于轴的直线与抛物线相交于两点，抛物线在两点处的切线及直线所围成的三角形面积为.

(1)求抛物线的方程；

(2)设是抛物线上异于原点的两个动点，且满足，求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，得到切线与轴的交点，利用三角形的面积列方程解出，从而可得结果；（2）计算，设出方程，求出与轴的交点，联立方程组，根据韦达定理及弦长公式可得，得出面积关于的函数，从而可得函数的最值.

(1)依题意得，

由，得，

∴抛物线在处的切线斜率为，

由抛物线的对称性，知抛物线在处的切线斜率为，

抛物线在A处的切线方程为,

令y=0,得,

∴S=，解得.

∴抛物线的方程为.

(2)由已知可得，

设则，∴.

令直线的方程为，

联立方程组消去得，

则，

∵，∴.

∴直线MN过定点（1，0）,

∴.

∵，

∴.

综上所示，面积的取值范围是.