Question

已知函数（a∈R）．
（Ⅰ） 当a≥0时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=x²-2bx+4．当时，
（i）若对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求实数b取值范围．
（ii） 对于任意x₁，x₂∈（1，2]都有，求λ的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
因为，
所以当a=0时，，令得x＞1，
所以此时函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）是减函数；-----------------------------（2分）
当时，，所以此时函数f（x）在（0，+∞）是减函数；
当时，令，解得，
此时函数f（x）在是增函数，在上是减函数；----------------------------------------------（4分）
当，令，解得，
此时函数f（x）在是增函数，在上是减函数；-----------------------------------------（6分）
当a≥1，由于，令，解得0＜x＜1，
此时函数f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）上是减函数．--------------------------------------------（8分）
（Ⅱ） （i）当时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意x₁∈（0，2），
有，又已知存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），所以，x₂∈[1，2]，
即存在x∈[1，2]，使，即，即，
所以，解得，即实数b取值范围是．--------------------（12分）
（ii）不妨设1＜x₁≤x₂≤2，由函数f（x）在（1，2]上是增函数，函数在（1，2]是减函数，
∴等价于，
所以
设是减函数，
所以h'（x）≤0在（1，2]上恒成立，即，解得．---------（16分）
分析：（I）由已知中函数的意义域为R⁺，由已知中的函数解析式，求出导函数的解析式，分a=0，，，，a≥1五种情况分别讨论，最后综合讨论结果，即可得到f（x）的单调性；
（Ⅱ）（i）由（I）的结论，我们可得当时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，则f（x₁）≥g（x₂），可转化为≥f（x₂），由g（x）=x²-2bx+4，我们易由函数恒成立问题的处理方法，求出满足条件的实数b取值范围．
（ii） 由（I）中结论函数f（x）在（1，2]上是增函数，函数在（1，2]是减函数，则等价于，构造函数，可得函数h（x）是减函数，根据h'（x）≤0在（1，2]上恒成立，可构造关于λ的不等式，解不等式即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数恒成立问题，其中（1）的关键是对a值进行分类讨论，而（2）的关键是构造函数，进而根据函数h（x）是减函数，则h'（x）≤0在（1，2]上恒成立，构造关于λ的不等式．