Question

5．设直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=lcos60°\\ y=-1+lsin60°\end{array}$（l为参数）与曲线C：$\left\{\begin{array}{l}x=2a{t^2}\\ y=2at\end{array}$（t为参数，实数a≠0）交于不同两点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 首先把直线和曲线得参数式转化为直角坐标的形式，进一步建立方程组，转化成一元二次方程，根据判别式求出参数的取值范围．

解答 解：直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=lcos60°\\ y=-1+lsin60°\end{array}$（l为参数），转化为直角坐标方程为：$y=\sqrt{3}x-1$．
曲线C：$\left\{\begin{array}{l}x=2a{t^2}\\ y=2at\end{array}$（t为参数，实数a≠0）转化为直角坐标方程为：y²=2ax（a≠0），
所以：$\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{3}x-1\\{y}^{2}=2ax\end{array}\right.$，整理得：$3{x}^{2}-2（a+\sqrt{3}）x+1=0$
由于直线和曲线交于不同两点，
所以：$△=4（a+\sqrt{3}）^{2}-12＞0$，
解得：$a＞0或a＜-2\sqrt{3}$，
所以：a的取值范围为：$a＞0或a＜-2\sqrt{3}$．

点评 本题考查的知识要点：参数方程转化成直角坐标方程，利用直线和曲线的位置关系的应用，判别式的应用，主要考查学生的应用能力．