Question

【题目】已知椭圆的左焦点为,右顶点为,点的坐标为的面积为，过点的动直线被椭圆所截得的线段长度的最小值为 .

(I)求椭圆的方程;

(Ⅱ) 是椭圆上异于顶点的一点,且直线是线段延长线上一点,且，的半径为是的两条切线,切点分别为,求的最大值,并求出取得最大值时直线的斜率 .

Answer 1

【答案】(Ⅰ) （Ⅱ）的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.

【解析】分析：（Ⅰ）由已知，可得，解得设椭圆方程：，

当直线斜率不存在时，线段长为；

当直线斜率存在时，设方程：，由弦长公式可得的长小于，

易知当时，的最小值为，从而，由此得到椭圆的方程；（

Ⅱ）由（Ⅰ）知，，而的半径，

又直线的方程为，可得 ，

由题意可知，要求的最大值，即求的最小值，由题意可知，转化为关于的函数，换元后利用配方法可得

的最大值,以及取得最大值时直线的斜率 .

详解：

（Ⅰ）由已知，可得.又由，可得，解得

设椭圆方程：，

当直线斜率不存在时，线段长为；

当直线斜率存在时，设方程：，

由，得，从而

，

易知当时，的最小值为，从而，因此，椭圆的方程为：.

（Ⅱ）由第（Ⅰ）问知，，而的半径，

又直线的方程为，由，得，

因此，

由题意可知，要求的最大值，即求的最小值

而

，令，则，

因此, ，

当且仅当，即时等号成立，此时，

所以，因此，所以的最大值为.

综上所述，的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.