Question

已知f（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

 （n∈N^*），用数学归纳法证明不等式f（2ⁿ）＞

n

2

时，f（2^k+1）比f（2^k）多的项数是

2^k

．

Answer 1

分析：利用f（2^k+1）-f（2^k）=

1

2k+1

+

1

2k+2

+…+

1

2k+2k

即可判断出．

解答：解：∵f(2k)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

+

1

2k

，f（2^k+1）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

+…+

1

2k+2k-1

+

1

2k+2k

，
∴f（2^k+1）-f（2^k）=

1

2k+1

+

1

2k+2

+…+

1

2k+2k

，
∴用数学归纳法证明不等式f（2ⁿ）＞

n

2

时，f（2^k+1）比f（2^k）多的项数是2^k．
故答案为2^k．

点评：正确理解数学归纳法由归纳假设n=k到n=k+1增加的项数不一定是一项是解题的关键．