Question

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且c=

3

asinC-ccosA．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）设a=

3

，求b+c的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，整理后得到sin（A-

π

6

）=

1

2

，利用特殊角的三角函数值化简即可求出A的度数；
（Ⅱ）利用正弦定理列出关系式，将a与sinA的值代入表示出b与c，进而表示出b+c，利用两角和与差得正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据B的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出b+c的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由c=

3

asinC-ccosA得：sinC=

3

sinAsinC-sinCcosA，
∵sinC≠0，∴1=

3

sinA-cosA=2sin（A-

π

6

），即sin（A-

π

6

）=

1

2

，
又0＜A＜π，∴A=

π

3

；
（Ⅱ）由正弦定理得

b

sinB

=

c

sinC

a

sinA

=

3

3 2

=2，
∴b=2sinB，c=2sinC，
∴b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin（

2π

3

-B）=2（

3

2

sinB+

3

2

cosB）=2

3

（

3

2

sinB+

1

2

cosB）=2

3

sin（B+

π

6

），
其中B∈（0，

2π

3

），
∵B+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

），
∴当B+

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

时，（b+c）_max=2

3

．

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．