题目内容
如图，空间直角坐标系O-xyz中，已知A（1，0，0），B（0，2，0），现将△AOB按向量
平移到△A'O'B'．（Ⅰ）写出三点A'、O'、B'的坐标；
（Ⅱ）求证：AB'⊥BO'；
（Ⅲ）求二面角A-BB'-O的大小．
【答案】分析：（Ⅰ）先分别写出
的坐标，即可得到点A'、O'、B'的坐标；
（Ⅱ） 要证AB'⊥BO'；只需证明对应的数量积为0即可；
（Ⅲ） 先求平面的法向量，再利用向量的数量积公式求面面角．
解答：解：（Ⅰ）
=（1，0，0）+（0，-1，
，-1，
，
同理
，2，0）+（0，-1，
=（0，1，
，又
，-1，
，
所以A'（1，-1，
，O'（0，-1，
，B'（0，1，
；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）
，1，
，0，0）=（-1，1，
，
，-1，
，2，0）=（0，-3，
，
而
，所以
，即AB'⊥BO'；
（Ⅲ）设平面ABB'的法向量为
，y，z），则
且
，
所以
且
，即
，取z=1，得
，
，
所以
，
，1）．又平面OBB'的一个法向量是
，0，0），
，
所以
，从而二面角A-BB'-O的大小为30°．
点评：本题的考点是用空间向量求平面角的夹角，主要考查空间向量的运用，考查向量的数量积公式，属于中档题．
的坐标，即可得到点A'、O'、B'的坐标；（Ⅱ） 要证AB'⊥BO'；只需证明对应的数量积为0即可；
（Ⅲ） 先求平面的法向量，再利用向量的数量积公式求面面角．
解答：解：（Ⅰ）
=（1，0，0）+（0，-1，，-1，，同理
，2，0）+（0，-1，=（0，1，，又，-1，，所以A'（1，-1，
，O'（0，-1，，B'（0，1，；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）
，1，，0，0）=（-1，1，，，-1，，2，0）=（0，-3，，而
，所以，即AB'⊥BO'；（Ⅲ）设平面ABB'的法向量为
，y，z），则且，所以
且，即，取z=1，得，，所以
，，1）．又平面OBB'的一个法向量是，0，0），，所以
，从而二面角A-BB'-O的大小为30°．点评：本题的考点是用空间向量求平面角的夹角，主要考查空间向量的运用，考查向量的数量积公式，属于中档题．
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，原点
是
的中点，点
的坐标是（
），点
在平面
上，且
，
．
的坐标；
和
的夹角为
，求
的值．
