Question

已知函数（m∈R）．
（1）若在[1，+∞）上是单调减函数，求实数m的取值范围；
（2）设g（x）=f（x）+lnx，当m≥-2时，求g（x）在上的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意函数（m∈R），在[1，+∞）上是单调减函数，由复合函数的单调性可判断出数（m∈R）在[1，+∞）上是单调减函数，由此可得恒成立，即在[1，+∞）上恒成立，从中解出m的取值范围即可
（2）可先解出，再根据m的取值的不同范围讨论函数在上的最大值
解答：解：（1）因为函数在[1，+∞）上是单调减函数，则根据复合函数的单调性可得f（x）在[1，+∞）上是单调减函数，其导数在[1，+∞）上恒小于等于0，且满足f（x）＜8在[1，+∞）上恒成立，所以恒成立，即在[1，+∞）上恒成立，解得m≥-1…（3分）

要使f（x）＜8在[1，+∞）上恒成立，只需要[f（x）]_max＜8，又f（x）在[1，+∞）上单调减函数，
∴f（1）＜8，解得m＜9，
∴-1≤m＜9…（6分）
（2）…（7分）

当，即时，g'（x）≤0，
∴g（x）在上单调递减，
∴…（9分）
当时，由g'（x）=0得，
显然，
∴，又
当时，g'（x）≥0，g（x）单调递增；
当x₂＜x≤2时，g'（x）＜0，g（x）单调递减                        …（12分）
∴…（14分）

综上所述，（1）当时，；
（2）当时，…（16分）
点评：本题考查了导数研究函数的单调性，由函数的单调性求最值解决恒成立的问题及分类讨论的思想，本题综合性强，计算量大极易出错，解题的关键是理解题意，将问题正确转化