Question

（2013•湖南）已知a＞0，函数f(x)=|

x-a

x+2a

|．
（I）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；
（II）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式；
（II）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论．

解答：解：（I）当0≤x≤a时，f(x)=

a-x

x+2a

；当x＞a时，f(x)=

x-a

x+2a

∴当0≤x≤a时，f′(x)=

-3a

(x+2a)2

＜0，f（x）在（0，a）上单调递减；
当x＞a时，f′(x)=

3a

(x+2a)2

＞0，f（x）在（a，+∞）上单调递增．
①若a≥4，则f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）=

1

2

②若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增
∴g（a）=max{f（0），f（4）}
∵f（0）-f（4）=

1

2

-

4-a

4+2a

=

a-1

2+a

∴当0＜a≤1时，g（a）=f（4）=

4-a

4+2a

；当1＜a＜4时，g（a）=f（0）=

1

2

，
综上所述，g（a）=

4-a 4+2a ，0＜a≤1 1 2 ，a＞1

；
（II）由（I）知，当a≥4时，f（x）在（0，4）上单调递减，故不满足要求；
当0＜a＜4时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，若存在x₁，x₂∈（0，4）（x₁＜x₂），使曲线y=f（x）在
两点处的切线互相垂直，则x₁∈（0，a），x₂∈（a，4），且f′（x₁）f′（x₂）=-1
∴

-3a

(x1+2a)2

•

3a

(x2+2a)2

=-1
∴x1+2a=

3a

x2+2a

①
∵x₁∈（0，a），x₂∈（a，4），
∴x₁+2a∈（2a，3a），

3a

x2+2a

∈（

3a

4+2a

，1）
∴①成立等价于A=（2a，3a）与B=（

3a

4+2a

，1）的交集非空
∵

3a

4+2a

＜3a，∴当且仅当0＜2a＜1，即0＜a＜

1

2

时，A∩B≠∅
综上所述，存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是（0，

1

2

）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键．