Question

（2013•湖南）已知函数f(x)=sin(x-

π

6

)+cos(x-

π

3

)，g(x)=2sin2

x

2

．
（I）若α是第一象限角，且f(α)=

3 3

5

，求g（α）的值；
（II）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．

Answer 1

分析：（I）根据两角和与差的三角函数公式化简，得f（x）=

3

sinx，结合f(α)=

3 3

5

解出sinα=

3

5

，利用同角三角函数的基本关系算出cosα=

4

5

．由二倍角的余弦公式进行降次，可得g（x）=1-cosx，即可算出g（α）=1-cosα=

1

5

；
（II）f（x）≥g（x），即

3

sinx≥1-cosx，移项采用辅助角公式化简整理，得2sin（x+

π

6

）≥1，再根据正弦函数的图象与性质，即可求出使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．

解答：解：：∵sin（x-

π

6

）=sinxcos

π

6

-cosxsin

π

6

=

3

2

sinx-

1

2

cosx
cos（x-

π

3

）=cosxcos

π

3

+sinxsin

π

3

=

1

2

cosx+

3

2

sinx
∴f(x)=sin(x-

π

6

)+cos(x-

π

3

)=（

3

2

sinx-

1

2

cosx）+（

1

2

cosx+

3

2

sinx）=

3

sinx
而g(x)=2sin2

x

2

=1-cosx
（I）∵f(α)=

3 3

5

，∴

3

sinα=

3 3

5

，解之得sinα=

3

5

∵α是第一象限角，∴cosα=

1-sin2α

=

4

5

因此，g（α）=2sin2

α

2

=1-cosα=

1

5

，
（II）f（x）≥g（x），即

3

sinx≥1-cosx
移项，得

3

sinx+cosx≥1，化简得2sin（x+

π

6

）≥1
∴sin（x+

π

6

）≥

1

2

，可得

π

6

+2kπ≤x+

π

6

≤

5π

6

+2kπ（k∈Z）
解之得2kπ≤x≤

2π

3

+2kπ（k∈Z）
因此，使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤

2π

3

+2kπ（k∈Z）}

点评：本题给出含有三角函数的两个函数f（x）、g（x），求特殊函数值并讨论使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．着重考查了三角恒等变换、同角三角函数的基本关系和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．