Question

如图，四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC＝4，O为BD的中点，E为PA的中点．

(Ⅰ)求证：PO·⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求证：OE∥平面PDC；

(Ⅲ)求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：设为的中点，连接，则 　　∵，，，∴四边形为正方形， 　　∵为的中点，∴为的交点， 　　∵，， 　　∵， 　　∴，， 　　在三角形中，，∴，　4分 　　∵，∴平面；　5分 　　(Ⅱ)方法1：连接，∵为的中点，为中点，∴， 　　∵平面，平面， 　　∴平面．　9分 　　方法2：由(Ⅰ)知平面，又，所以过分别做的平行线，以它们做轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 　　由已知得，，，，， 　　， 　　则，，，． 　　∴ 　　∴∵平面，平面， 　　∴平面；　9分 　　(Ⅲ)设平面的法向量为，直线与平面所成角， 　　则，即，解得，令， 　　则平面的一个法向量为，又 　　则， 　　∴直线与平面所成角的正弦值为．　12分