函数f(x)=ax2+4ax+3的定义域为R.求实数a的取值范围．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

函数f(x)=

ax2+4ax+3

的定义域为R，求实数a的取值范围

．

分析：根据题意，被开方数ax²+4ax+3≥0在R上恒成立，由此分a值是否为0加以讨论，结合二次函数的图象与性质建立关于a的不等式组，解之即可得到实数a的取值范围．

解答：解：∵函数f(x)=

ax2+4ax+3

的定义域为R，
∴不等式ax²+4ax+3≥0在R上恒成立
令t=ax²+4ax+3，则
①当a=0时，t=3＞0，符合题意；
②当a≠0时，有

a＞0

△=16a2-12a≤0

解之得0＜a≤

综上所述，实数a的取值范围是[0，

]
故答案为：[0，

]

点评：本题给出含有根号的函数的定义域为R，求参数a的取值范围．着重考查了二次函数的图象与性质与函数定义域的求法等知识，属于基础题．

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已知函数f(x)=ax2+bx+c(

≤a≤1)的图象过点A（0，1），且在该点处的切线与直线2x+y+1=0平行．
（Ⅰ）求b与c的值；
（Ⅱ）设f（x）在[1，3]上的最大值与最小值分别为M（a），N（a），求F（a）=M（a）-N（a）的表达式．

如果函数f(x)=

ax2+ax+1

的定义域为全体实数集R，那么实数a的取值范围是（　　）

，在定义域上是奇函数且f（1）=3，
（1）求a，b的值，写出f（x）的表达式；
（2）判断f（x）在[1，+∞）上的单调性，并加以证明．

若二次函数f(x)=a

+bx+c(a≠0)的图象和直线y=x无交点，现有下列结论：
①方程f[f（x）]=x一定没有实数根；
②若a＞0，则不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立；
③若a＜0，则必存存在实数x₀，使f[f（x₀）]＞x₀；
④若a+b+c=0，则不等式f[f（x）]＜x对一切实数都成立；
⑤函数g(x)=a

-bx+c的图象与直线y=-x也一定没有交点．
其中正确的结论是

（1）当a=0时，求证函数f（x）在它的定义域上单调递减
（2）是否存在实数a使得区间[-1，1]上一切x都满足f（x）≤

，若存在，求实数a的值；若不存在，说明理由．

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