Question

已知函数f(x)=

ax2-(1+a)x+1

（1）当a=0时，求证函数f（x）在它的定义域上单调递减
（2）是否存在实数a使得区间[-1，1]上一切x都满足f（x）≤

3

，若存在，求实数a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）当a=0时，利用被开方数大于等于0 可求函数的定义域，利用导数小于0，可证在它的定义域上单调递减
（2）假设存在实数a使得区间[-1，1]上一切x都满足f（x）≤

3

，两边平方即可求得．

解答：解：（1）a=0时，f(x)=

1-x

，定义域为（-∞，1]；
∵f/(x)=-

1

2 x

＜0
∴函数f（x）在它的定义域上单调递减
（2）假设存在实数a使得区间[-1，1]上一切x都满足f（x）≤

3

，
即f(x)=

ax2-(1+a)x+1

≤

3

即-1≤ax²-（1+a）x≤2在区间[-1，1]上恒成立
∴-1≤2a+1≤2
∴-1≤a≤

1

2

点评：本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查存在性问题，关键是等价转化．