题目内容

函数f（x）=ax2+(b+
13
)x+3是偶函数，且定义域为[a-1，2a]，则a+b=
0
0
．
分析：根据偶函数的定义，以及偶函数的定义域关于原点对称可得
f(-x)=f(x)
a-1+2a=0
，解此方程组求得a和b，即可求得a+b的值．
解答：解：∵函数f（x）=ax2+(b+
1
3
)x+3是偶函数，且定义域为[a-1，2a]，
由偶函数的定义域关于原点对称可得 （a-1）+2a=0，解得 a=
1
3
，故函数f（x）=
1
3
x2+（b+
1
3
）x+3．
由题意可得，f（-x）=f（x）恒成立，
即
1
3
（-x）2+（b+
1
3
）（-x）+3=
1
3
x2+（b+
1
3
）x+3 对任意的实数x都成立，
故有b+
1
3
=0，解得 b=-
1
3
，故有a+b=0，
故答案为 0．
点评：本题主要考查函数的奇偶性，奇、偶函数的定义域的特征，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b是常数，且a≠0），f（2）=0，且方程f（x）=x有两个相等的实数根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的值域．
设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在x=1处的切线垂直于y轴．
（Ⅰ）用a分别表示b和c；
（Ⅱ）当bc取得最大值时，写出y=f（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，g（x）满足
43
f(x)-6=（x-2）g（x）（x＞2），求g（x）的最大值及相应x值．
已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．
（Ⅰ）当a=
1
4
时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）求证：(1+
2
2×3
)×(1+
4
3×5
)×(1+
8
5×9
)…(1+
2n
(2n-1+1)(2n+1)
)＜e（其中，n∈N*，e是自然对数的底数）
已知实数a，b，c（a≠0）满足
a
m+2
+
b
m+1
+
c
m
=0(m＞0)，对于函数f（x）=ax2+bx+c，af(
m
m+1
)与0的大小关系是（　　）
已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，F(x)=
f(x)(x＞0)
-f(x)(x＜0)

（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设m•n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零．

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