Question

已知P（x，y）为函数y=lnx图象上一点，O为坐标原点．记直线OP的斜率k=f（x）．
（I）同学甲发现：点P从左向右运动时，f（x）不断增大，试问：他的判断是否正确？若正确，请说明理由：若不正确，请给出你的判断．
（Ⅱ）求证：当x＞1时，f（x）＜

x-1

x 3 2

．
（III）同学乙发现：总存在正实数a、b（a＜b），使a^b=b^a．试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由：若正确，请求出a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）同学甲的判断不正确．f′(x)=

1-lnx

x2

，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，e]上递增，在[e，+∞）递减．
（Ⅱ）f（x）-

x-1

x 3 2

=

lnx

x

-

x-1

x 3 2

=

lnx- x + 1 x

x

，记g(x)=lnx-

x

+

1

x

，g′(x)=

1

x

-

1

2

x

1

2

-

1

2

x-

3

2

 =-

1

2

x

3

2

(

x

-1)2＜0，g（x）在（1，+∞）为减函数，由此能够证明f（x）＜

x-1

x 3 2

．
（III）同学乙的判断正确．

lim

x→+∞

x-1

x 3 2

=0，且

x-1

x 3 2

＞0(x＞1)，f(x)＜

x-1

x 3 2

，当x→∞时，f（x）→0，由此能求出求出a的取值范围．

解答：解：（I）同学甲的判断不正确．
依题意，f（x）=

lnx

x

，f′(x)=

1-lnx

x2

，
当x∈（0，e）时，f′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，e]上递增，在[e，+∞）递减．
（Ⅱ）f（x）-

x-1

x 3 2

=

lnx

x

-

x-1

x 3 2

=

lnx- x + 1 x

x

，
记g(x)=lnx-

x

+

1

x

，
g′(x)=

1

x

-

1

2

x

1

2

-

1

2

x-

3

2

 =-

1

2

x

3

2

(

x

-1)2＜0，
∴g（x）在（1，+∞）为减函数，
则g（x）=lnx-

x

+

1

x

＜g(1)=0，
∴f(x)-

x-1

x 3 2

＜0，即f（x）＜

x-1

x 3 2

．
（III）同学乙的判断正确．
∵

lim

x→+∞

x-1

x 3 2

=0，且

x-1

x 3 2

＞0(x＞1)，
又由（2）f(x)＜

x-1

x 3 2

，
∴当x→∞时，f（x）→0，
∴总存在正实数a，b，且1＜a＜e＜b，使得f（a）=f（b），即

lna

a

=

lnb

b

，∴a^b=b^a，此时1＜a＜e．

点评：本题考查导数在函数的单调性中的应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地借导数性质进行解答．