Question

已知函数f（x）=x³+2x²+x+a
（Ⅰ）证明：曲线f（x）不可能与直线y=-2x+1相切；
（Ⅱ）若a＜0，求函数y=f（x）在[a，0]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）反证法：假设曲线与直线能相切，则f′（x₀）=-2有解，而通过计算可知该方程无解，故得结论；
（Ⅱ）先用导数求出函数的单调区间，从而可得函数的极值点，分区间[a，0]内无极值点，一个极值点，两个极值点三种情况进行讨论，可求得函数的最大值；

解答：（I）证明：假设曲线与直线能相切，则有f′（x₀）=-2，即3x02+4x0+1=-2，
而方程3x02+4x0+3=0的△=-20＜0，无实根，所以假设错误．
曲线f（x）与直线y=-2x+1不可能相切．
（Ⅱ）f′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1），
当x＜-1或x＞-

1

3

时，f′（x）＞0，当-1＜x＜-

1

3

时，f′（x）＜0，
故f（x）的增区间为（-∞，-1），（-

1

3

，+∞）；减区间为（-1，-

1

3

），极大值点为x=-1，极小值点为x=-

1

3

，
若-

1

3

≤a＜0，f（x）在[a，0]上为增函数，f（x）_max=f（0）=a；
若-1≤a＜-

1

3

，f（x）在[a，-

1

3

]上为减函数，在[-

1

3

，0]上为增函数，
又f（a）-f（0）=a（a+1）²＜0，所以f（x）_max=f（0）=a；
若a＜-1，f（x）在[a，-1]上为增函数，在[-1，-

1

3

]上为减函数，在[-

1

3

，0]上为增函数，
f（x）_max=f（0）=f（-1）=a．
综上所述，f（x）在[a，0]上的最大值为a．

点评：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的最值，考查数形结合思想，考查学生分析解决问题的能力，综合性较强，有一定难度．