Question

如图（1），在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，AE=BF=2，AB=2

2

，现将梯形沿CB、DA折起，使EF∥AB且EF=2AB，得一简单组合体ABCDEF如图（2）示，已知M，N，P分别为AF，BD，EF的中点．



（1）求证：MN∥平面BCF；
（2）求证：AP⊥平面DAE；
（3）若AD=2，求四棱锥F-ABCD的体积．

Answer 1

（1）证明：连结AC，∵四边形ABCD是矩形，N为BD中点，
∴N为AC中点，----------------------------------------------（1分）
在△ACF中，M为AF中点，故MN∥CF--------------------------（3分）
∵CF?平面BCF，MN?平面BCF，∴MN∥平面BCF；---（4分）
（2）依题意知DA⊥AB，DA⊥AE 且AB∩AE=A∴AD⊥平面ABFE
∵AP?平面ABFE，∴AP⊥AD，------------------（5分）
∵P为EF中点，∴FP=AB=2

2

结合AB∥EF，知四边形ABFP是平行四边形
∴AP∥BF，AP=BF=2------------------------------------（7分）
而AE=2，PE=2

2

，∴AP²+AE²=PE²∴∠EAP=90°，即AP⊥AE-----（8分）
又AD∩AE=A∴AP⊥平面ADE，----------------------------------（9分）
（3）∵三棱锥F-CBD与F-ABD等底等高，∴V_F-BCD=V_F-ABD，-----------（10分）
∴V_F-ABCD=2V_F-ABD=2V_D-ABF，-----------------------------------------------（11分）
由（2）知△PAE为等腰直角三角形，∴∠APE=45°，从而∠FBA=∠APF=135°------（12分）
故S△ABF=

1

2

AB•BFsin∠ABF=

1

2

×2

2

×2×

2

2

=2
∴VD-ABF=

1

3

S△ABF•DA=

1

3

×2×2=

4

3

∴VF-ABCD=2VD-AEF=

8

3

--------------------------------------------------（14分）