Question

17．已知奇函数f（x）在区间（-∞，0）上是增函数，且f（-2）=-1，f（1）=0，当x₁＞0，x₂＞0有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），求不等式log₂|f（x）+1|＜0的解集．

Answer 1

分析 根据对数函数的单调性将不等式进行转化，根据函数奇偶性和单调性的关系以及抽象函数关系，利用特殊值法进行求解即可．

解答 解：不等式log₂|f（x）+1|＜0等价为0＜|f（x）+1|＜1，
即0＜f（x）+1＜1或-1＜f（x）+1＜0，
即-1＜f（x）＜0或-2＜f（x）＜-1，
∵f（x）是奇函数，且且f（-2）=-1，f（1）=0，
∴f（2）=1，
∵当x₁＞0，x₂＞0有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），
∴函数f（x）为对数函数模型，
即当x＞0时，设f（x）=log_ax，
∵奇函数f（x）在区间（-∞，0）上是增函数，
∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
则a＞1，
∵f（2）=1，∴f（2）=log_a2=1，则a=2，
即当x＞0时，f（x）=log₂x，
若x＜0，则-x＞0，则f（-x）=log₂（-x）=-f（x），
即f（x）=-log₂（-x），x＜0，
则函数f（x）的图象如图：
若x＞0，由-1＜f（x）＜0或-2＜f（x）＜-1得-1＜log₂x＜0或-2＜log₂x＜-1，
即$\frac{1}{2}$＜x＜1或$\frac{1}{4}$＜log₂x＜$\frac{1}{2}$，
若x＜0，由-1＜f（x）＜0或-2＜f（x）＜-1得-1＜-log₂（-x）＜0或-2＜-log₂（-x）＜-1，
即0＜log₂（-x）＜1或1＜log₂（-x）＜2，
即1＜-x＜2或2＜-x＜4，
即-2＜x＜-1或-4＜x＜-2，
综上不等式的解集为（-4，-2）∪（-2，-1）∪（$\frac{1}{2}$，1）∪（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据抽象函数关系转化为对数函数模型是解决本题的关键．根据函数奇偶性和单调性的关系结合数形结合进行求解是解决本题的突破点．