Question

12．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若$\frac{2}{3}$bc=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{cosA}$，且cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，则A=（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 120°

Answer 1

分析 利用正弦定理，余弦定理化简已知可得sinBcosA=3sinAcosB，从而可得tanB=3tanA，可得A，B为锐角，由cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$＞0，可得：C为锐角，tanC＞0，求得tanC，利用两角和的正切函数公式可得3tan²A-2tanA-1=0，解得tanA的值，结合范围0＜A＜180°即可得解．

解答 解：∵若$\frac{2}{3}$bc=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{cosA}$，
∴bcosA=3acosB，
∴sinBcosA=3sinAcosB，
∴tanB=3tanA，可得A，B为锐角，
∵cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$＞0，可得：C为锐角，tanC＞0，
∴tanC=$\sqrt{\frac{1}{co{s}^{2}C}-1}$=2，
∵tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{4tanA}{3ta{n}^{2}A-1}$=2，整理可得：3tan²A-2tanA-1=0，
∴解得：tanA=1或-$\frac{1}{3}$（舍去）．
∵0＜A＜180°，
∴A=45°．
故选：B．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式的应用，两角和的正切函数公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．