Question

【题目】函数，为的导数．

（1）若，求在处的切线方程；

（2）求的单调区间；

（3）若方程有两个不等的实根，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）．（2）在单增，在单减．（3）

【解析】

（1）先对函数求导，将代入导函数中求得的值为切线的斜率，然后利用点斜式方程可写出切线方程；

（2）对函数求导后，由的范围判断导函数的正负，从而可求得其单调区间；

（3）有两个不等的实根，等价于有两个不等实根，

等价于与有两个不同的交点，然后对求导判断其单调区间，可求出的取值范围，从而可得的取值范围.

（1）当时，，，

切线斜率，，切点，

∴切线方程．

（2），定义域，

，

当，恒成立，即在单调递增，

当，令，解得，即在单调递增，

令，解得，即在单调递减．

（3）有两个不等的实根，即有两个不等实根，

等价于与有两个不同的交点，

因为，所以当时，，当时，

即在单调递增，单调递减，

而易知，，

，，，

∴，即．（其他合理方法均可）