Question

【题目】在直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且过点，若的两焦点与其中一个顶点能构成一个等边三角形.

（1）求的方程.

（2）已知过的两条直线，（斜率都存在）与的右半部分（轴右侧）分别相交于，两点，且的面积为，试判断，的斜率之积是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用已知条件列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程．

（2）设，的斜率分别为，.联立直线OA与椭圆方程，求得及点到直线的距离，表示出的面积，平方化简后得到关于，的二次方程，解得.

（1）由题意可知，即，

又，得.

把代入的方程得，又，解得，

从而，，故的方程为.

（2）设，，，的斜率分别为，.

联立方程组，得，

同理得，

则 .

因为点到直线的距离，

所以的面积为 ，

则 ，

整理得，

即，故，的斜率之积为定值，且定值为.