Question

已知椭圆具有性质：若A，B是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0且a，b为常数）上关于原点对称的两点，点P是椭圆上的任意一点，若直线PA和PB的斜率都存在，并分别记为k_PA，k_PB，那么k_PA与k_PB之积是与点P位置无关的定值-

b2

a2

．试对双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0且a，b为常数）写出类似的性质，并加以证明．

Answer 1

双曲线类似的性质为：
若A，B是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0且a，b为常数）上关于原点对称的两点，点P是双曲线上的任意一点，若直线PA和PB的斜率都存在，并分别记为k_PA，k_PB，那么k_PA与k_PB之积是与点P位置无关的定值

b2

a2

．
证明：设P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），则B（-x₁，-y₁），
且

x 20

a2

-

y 20

b2

=1①，

x 21

a2

-

y 21

b2

=1②，
两式相减得：b2(

x

20

-

x

21

)-a2(

y

20

-

y

21

)=0，
∴kPA•kPB=

y0-y1

x0-x1

•

y0+y1

x0+x1

=

y 20 - y 21

x 20 - x 21

=

b2

a2

即kPA•kPB=

b2

a2

，是与点P位置无关的定值．