题目内容
给出以下四个命题：
①已知命题p：?x∈R，tanx=2；命题q：?x∈R，x2-x+1≥0，则命题p∧q是真命题；
②过点（-1，2）且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是x+y-1=0；
③函数f（x）=2x+2x-3在定义域内有且只有一个零点；
④若直线xsin α+ycos α+l=0和直线
垂直，则角
．
其中正确命题的序号为________．（把你认为正确的命题序号都填上）
①③
分析：由正切的定义和二次函数零点的结论，可得①是真命题；由直线在坐标轴上的截距定义，可得②是假命题；根据函数的单调性和零点存在性定理，可得③是真命题；根据两条直线垂直的充要条件，结合三角函数图象与性质，可得④是假命题．
解答：对于①，根据正切的定义知命题p是真命题，
而命题q：?x∈R，x2-x+1≥0，因为△=（-1）2-4×1×1=-3＜0，
所以抛物线y=x2-x+1开口向上并且与x轴无公共点，故p也是真命题．
因此命题p∧q是真命题，①正确；
对于②，过点（-1，2）且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程除了x+y-1=0还有y=-2x，故②不正确；
对于③，f（x）=2x+2x-3在R上是增函数，而且f（0）=-2＜0，f（1）=1＞0
所以函数f（x）=2x+2x-3在定义域内有且只有一个零点，故③是真命题；
对于④，直线xsin α+ycos α+l=0和直线垂直，则sinαcosα-
cosα=0，
可得sinα=或cosα=0，所以α=2kπ+
或α=2kπ+
或α=kπ+
由此可得④不正确．
故答案为：①③
点评：本题以命题真假的判断为载体，考查了二次函数的图象与性质、函数的单调性与零点存在性定理、两条直线位置关系和简单的三角方程等知识，属于基础题．
分析：由正切的定义和二次函数零点的结论，可得①是真命题；由直线在坐标轴上的截距定义，可得②是假命题；根据函数的单调性和零点存在性定理，可得③是真命题；根据两条直线垂直的充要条件，结合三角函数图象与性质，可得④是假命题．
解答：对于①，根据正切的定义知命题p是真命题，
而命题q：?x∈R，x2-x+1≥0，因为△=（-1）2-4×1×1=-3＜0，
所以抛物线y=x2-x+1开口向上并且与x轴无公共点，故p也是真命题．
因此命题p∧q是真命题，①正确；
对于②，过点（-1，2）且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程除了x+y-1=0还有y=-2x，故②不正确；
对于③，f（x）=2x+2x-3在R上是增函数，而且f（0）=-2＜0，f（1）=1＞0
所以函数f（x）=2x+2x-3在定义域内有且只有一个零点，故③是真命题；
对于④，直线xsin α+ycos α+l=0和直线
垂直，则sinαcosα-cosα=0，可得sinα=
或cosα=0，所以α=2kπ+或α=2kπ+或α=kπ+由此可得④不正确．
故答案为：①③
点评：本题以命题真假的判断为载体，考查了二次函数的图象与性质、函数的单调性与零点存在性定理、两条直线位置关系和简单的三角方程等知识，属于基础题．
练习册系列答案
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定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的
=(m，n)，
=(p，q)，令
*
=mq-np．给出以下四个命题：（1）若
与
共线，则
*
=0；（2）
*
=
*
；（3）对任意的λ∈R，有(λ
)*
=λ(
*
)（4）(
*
)2+(
•
)2=|
|2•|
|2．（注：这里
•
指
与
的数量积）则其中所有真命题的序号是（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| A、（1）（2）（3） |
| B、（2）（3）（4） |
| C、（1）（3）（4） |
| D、（1）（2）（4） |
如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：