题目内容
（2012•天津）设椭圆
+
=1(a＞b＞0)的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．
（1）若直线AP与BP的斜率之积为-
，求椭圆的离心率；
（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞
．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）若直线AP与BP的斜率之积为-
| 1 |
| 2 |
（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞
| 3 |
分析：（1）设P（x0，y0），则
+
=1，利用直线AP与BP的斜率之积为-
，即可求得椭圆的离心率；
（2）依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），则
+
=1，进一步可得
+
＜1，利用AP|=|OA|，A（-a，0），可求得x0=
，从而可求直线OP的斜率的范围．
| x02 |
| a2 |
| y02 |
| b2 |
| 1 |
| 2 |
（2）依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），则
| x02 |
| a2 |
| k2x02 |
| b2 |
| x02 |
| a2 |
| k2x02 |
| a2 |
| -2a |
| 1+k2 |
解答：（1）解：设P（x0，y0），∴
+
=1①
∵椭圆
+
=1(a＞b＞0)的左右顶点分别为A，B，∴A（-a，0），B（a，0）
∴kAP=
，kBP=
∵直线AP与BP的斜率之积为-
，∴x02=a2-2y02
代入①并整理得(a2-2b2 )y02=0
∵y0≠0，∴a2=2b2
∴e2=
=
∴e=
∴椭圆的离心率为
；
（2）证明：依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），∴
+
=1
∵a＞b＞0，kx0≠0，∴
+
＜1
∴(1+k2)x02＜a2②
∵|AP|=|OA|，A（-a，0），
∴(x0+a)2+k2x02=a2
∴(1+k2)x02+2ax0 =0
∴x0=
代入②得(1+k2)(
)2＜a2
∴k2＞3
∴直线OP的斜率k满足|k|＞
．
| x02 |
| a2 |
| y02 |
| b2 |
∵椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∴kAP=
| y0 |
| x0+a |
| y0 |
| x0-a |
∵直线AP与BP的斜率之积为-
| 1 |
| 2 |
代入①并整理得(a2-2b2 )y02=0
∵y0≠0，∴a2=2b2
∴e2=
| a2-b2 |
| a2 |
| 1 |
| 2 |
∴e=
| ||
| 2 |
∴椭圆的离心率为
| ||
| 2 |
（2）证明：依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），∴
| x02 |
| a2 |
| k2x02 |
| b2 |
∵a＞b＞0，kx0≠0，∴
| x02 |
| a2 |
| k2x02 |
| a2 |
∴(1+k2)x02＜a2②
∵|AP|=|OA|，A（-a，0），
∴(x0+a)2+k2x02=a2
∴(1+k2)x02+2ax0 =0
∴x0=
| -2a |
| 1+k2 |
代入②得(1+k2)(
| -2a |
| 1+k2 |
∴k2＞3
∴直线OP的斜率k满足|k|＞
| 3 |
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查直线的斜率，考查学生的计算能力，属于中档题．
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