Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，左、右焦点分别为F₁、F₂，点满足：F₂在线段PF₁的中垂线上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A（2，0）、M、N，且∠NF₂F₁=∠MF₂A，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）解法一：由椭圆C的离心率 和点F₂在线段PF₁的中垂线上知|F₁F₂|=|PF₂|，由此推出 ，从而可求出椭圆C的方程．
解法二：椭圆C的离心率，得，先求得线段PF₁的中点为D的坐标，根据线段PF₁的中垂线过点F₂，利用，得出关于c的方程求出c值，最后求得a，b写出椭圆方程即可；
（2）设直线l的方程为y=k（x-2），，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用∠NF₂F₁=∠MF₂A得出的斜率关系即可求得k的取值范围．
解答：解：（1）解法一：椭圆C的离心率，得，其中椭圆C的左、右焦点分别为F₁（-c，0），、F₂（c，0），
又点F₂在线段PF₁的中垂线上，∴F₁F₂=PF₂，∴
解得c=1，a²=2，b²=1，∴椭圆C的方程为．…（6分）
解法二：椭圆C的离心率，得，其中
椭圆C的左、右焦点分别为F₁（-c，0），、F₂（c，0），
设线段PF₁的中点为D，∵F₁（-c，0），，∴，
又线段PF₁的中垂线过点F₂，∴，即c=1，a²=2，b²=1，
∴椭圆方程为
（2）由题意，直线l的方程为y=k（x-2），且k≠0，
联立，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
由△=8（1-2k²）＞0，得，且k≠0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则有，，（*）
∵∠NF₂F₁=∠MF₂A，且由题意∠NF₂A≠90°，∴，
又F₂（1，0），∴，即，
∴，整理得2x₁x₂-3（x₁+x₂）+4=0，
将（*）代入得，，知上式恒成立，故直线l的斜率k的取值范围是． …（12分）
点评：本小题主要考查椭圆的方程及几何性质、直线与圆锥曲线的综合问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．