Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量

m

=(cosA-2cosC，2c-a)与

n

=(cosB，b)平行．
（1）求

sinC

sinA

的值；
（2）若bcosC+ccosB=1，△ABC周长为5，求b的长．

Answer 1

分析：（1）利用向量共线的条件，建立等式，利用正弦定理，将边转化为角，利用和角公式，即可得到结论；
（2）由bcosC+ccosB=1利用余弦定理，求得a，再由（1）计算c，利用△ABC周长为5，即可求b的长．

解答：解：（1）由已知向量

m

=(cosA-2cosC，2c-a)与

n

=(cosB，b)平行
∴b（cosA-2cosC）=（2c-a）cosB，
由正弦定理，可设

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=k≠0，则（cosA-2cosC）ksinB=（2ksinC-ksinA）cosB，
即（cosA-2cosC）sinB=（2sinC-sinA）cosB，…（3分）
化简可得sin（A+B）=2sin（B+C），
又A+B+C=π，所以sinC=2sinA，
因此

sinC

sinA

=2．…（6分）
（2）bcosC+ccosB=b•

a2+b2-c2

2ab

+c

a2+c2-b2

2ac

=

2a2

2a

=a=1，…（8分）
由（1）知

c

a

=

sinC

sinA

=2，∴c=2，…（10分）
由a+b+c=5，得b=2．…（12分）

点评：本题考查向量知识的运用，考查正弦定理、余弦定理，解题的关键是边角互化，属于中档题．