Question

如图，设P是单位圆和x轴正半轴的交点，M、N是单位圆上的两点，O是坐标原点，∠POM=

π

3

，∠PON=α，α∈[0，π）
（1）求点M的坐标；
（2）设f（α）=

OM

•

ON

，求f（α）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出M坐标利用三角函数的定义直接求出M即可．
（2）由题意推出N利用f（α）=

OM

•

ON

，求出函数的表达式，结合角的范围，求出函数的取值范围．

解答：（1）解：设M（x，y），根据三角函数的定义得，
x=cos

π

3

=

1

2

，y=sin

π

3

=

3

2

，∴M（

1

2

，

3

2

）．
（2）N是单位圆上的点，∠PON=α，α∈[0，π），所以N（cosα，sinα），
∴

OM

=(

1

2

，

3

2

)，

ON

=（cosα，sinα）．
∴f（α）=

OM

•

ON

=

1

2

cosα+

3

2

sinα=cos（α-

π

3

）
因为α∈[0，π），∴-

π

3

≤α-

π

3

＜

2π

3

，∴-

1

2

＜cos（α-

π

3

）≤1，
f（α）的取值范围是（-

1

2

，1]．

点评：本题考查三角函数的定义，向量的数量积，三角函数的化简求值，考查计算能力．