题目内容

（2009•金山区二模）计算：
lim
n→+∞
1+
1
2
+
1
4
+…+
1
2n-1
1-
1
3
+
1
9
+…+(-1)n-1
1
3n-1
=
8
3
8
3
．
分析：由等比数列的求和公式，把
lim
n→+∞
1+
1
2
+
1
4
+…+
1
2n-1
1-
1
3
+
1
9
+…+(-1)n-1
1
3n-1
等价转化为
lim
n→+∞
1×[1-(
1
2
)n]
1-
1
2
1×[1-(-
1
3
)n]
1-(-
1
3
)
，进而简化为
lim
n→+∞
2[1-(
1
2
)n]
3
4
[1-(-
1
3
)n]
，由此能求出结果．
解答：解：
lim
n→+∞
1+
1
2
+
1
4
+…+
1
2n-1
1-
1
3
+
1
9
+…+(-1)n-1
1
3n-1

=
lim
n→+∞
1×[1-(
1
2
)n]
1-
1
2
1×[1-(-
1
3
)n]
1-(-
1
3
)

=
lim
n→+∞
2[1-(
1
2
)n]
3
4
[1-(-
1
3
)n]

=
8
3
．
故答案为：
8
3
．
点评：本题考查数列的极限的求法，解题时要认真审题，注意等比数列前n项和公式的灵活运用．
练习册系列答案
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（2009•金山区二模）用数学归纳法证明1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2n-1
-
1
2n
=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
（n∈N*），则从“n=k到n=k+1”，左边所要添加的项是（　　）
（2009•金山区二模）函数f（x）=sinπx的最小正周期是
2
2
．
（2009•金山区二模）已知f（x）为奇函数，且当x＞0时f（x）=x（x-1），则f（-3）=
-6
-6
．
（2009•金山区二模）函数y=lg（x2-2x+4）的单调递减区间是
（-∞，1），（端点1处不考虑开和闭）
（-∞，1），（端点1处不考虑开和闭）
．
（2009•金山区二模）设函数f（x）=x2+x．（1）解不等式：f（x）＜0；（2）请先阅读下列材料，然后回答问题．
材料：已知函数g（x）=-
1
f(x)
，问函数g（x）是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．一个同学给出了如下解答：
解：令u=-f（x）=-x2-x，则u=-（x+
1
2
）2+
1
4
，
当x=-
1
2
时，u有最大值，umax=
1
4
，显然u没有最小值，
∴当x=-
1
2
时，g（x）有最小值4，没有最大值．
请回答：上述解答是否正确？若不正确，请给出正确的解答；
（3）设an=
f(n)
2n-1
，请提出此问题的一个结论，例如：求通项an．并给出正确解答．
注意：第（3）题中所提问题单独给分，．解答也单独给分．本题按照所提问题的难度分层给分，解答也相应给分，如果同时提出两个问题，则就高不就低，解答也相同处理．

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