题目内容

已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x+2）+f（x+2）f（x）+f（x）=1，f（1）= $数学公式$ ，f（2）= $数学公式$ ，求f（2010）

解：令x=1，则f（3）+f（3）f（1）+f（1）= $\text{[math]}$ f（1）+ $\text{[math]}$ =1，求得f（3）= $\text{[math]}$
令x=2，则f（4）+f（4）f（2）+f（2）= $\text{[math]}$ f（4）+ $\text{[math]}$ =1，解得f（4）= $\text{[math]}$
同理求得f（5）= $\text{[math]}$ ，f（6）= $\text{[math]}$
故函数f（x）是以4为周期的函数
∴f（2010）=f（502×4+2）=f（2）= $\text{[math]}$
分析：先令x=1求得f（3）的值，令x=2求得f（4）的值，令x=3求得f（5）的值，令x=4求得f（6）的值，发现函数f（x）是以4为周期的函数，进而求得f（2010）=f（502×4+2）=f（2）求得答案．
点评：本题主要考查了抽象函数的及其应用．解题的关键是通过求得函数的若干项，发现其中的规律．

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