Question

（2012•枣庄一模）已知0＜α＜

π

2

，且tan(α-

π

3

)=

3

-2．
（1）求α的值；
（2）令f(x)=sin(

π

2

x+α)(x∈R)，求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）的值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简已知等式的左边，得到关于tanα的方程，求出方程的解得到tanα的值，由α的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出α的值；
（2）将（1）求出的α值代入，确定出f（x）解析式，找出ω的值，代入周期公式求出f（x）的最小正周期为4，所求式子4个一循环，将x=1，2，3，4分别代入解析式中，求出f（1）+f（2）+f（3）+f（4）的值，即可求出所求式子的值．

解答：解：（1）∵tan（α-

π

3

）=

tanα- 3

1+ 3 tanα

=

3

-2，
解得：tanα=1，又0＜α＜

π

2

，
∴α=

π

4

；
（2）由（1）得f（x）=sin（

π

2

x+

π

4

），
∵ω=

π

2

，∴T=

2π

π 2

=4，
f（1）=sin（

π

2

+

π

4

）=

2

2

，f（2）=sin（π+

π

4

）=-

2

2

，
f（3）=sin（

3π

2

+

π

4

）=-cos

π

2

=-

2

2

，f（4）=sin（2π+

π

4

）=

2

2

，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=

2012

4

×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]=0．

点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．