Question

已知函数.

（Ⅰ）设{a_n}是正数组成的数列，前n项和为S_n，其中a₁=3.若点(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n,S_n）也在y=f′(x)的图象上；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值.

Answer 1

(Ⅰ)证明：因为所以′(x)=x²+2x,

    由点在函数y=f′(x)的图象上,得，

       即，又所以，

       又因为_{1 ，}所以数列是以3为首项，公差为2得等差数列。

              所以,又因为′(n)=n²+2n,所以,

    故点也在函数y=f′(x)的图象上. 

(Ⅱ)解:,

由得.

当x变化时,的变化情况如下表:

x	(-∞,-2)	-2	(-2,0)	0	(0,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)		极大值		极小值

注意到,从而

①当,此时无极小值；

②当的极小值为,此时无极大值；

③当既无极大值又无极小值.