Question

6．给定数列a₁，a₂，…，a_n，对i=1，2，…，n-1，该数列前i项的最大值记为A_i，后n-i项的最小值记为B_i，d_i=A_i-B_i．
（1）设a_n=$\frac{1}{3}$×2^n-1，求d₅；
（2）设a₁，a₂，…，a_n（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a₁＞0时，证明：d₁，d₂，…，d_n-1成等比数列；
（3）设d₁，d₂，…，d_n-1是公差大于0的等差数列，且d₁＞0，证明：a₁，a₂，…，a_n-1成等差数列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意的，d₅=A₅-B₅．因为A₅是数列前5项的最大值即a₅，B₅是后n-5项的最小值即a₆．所以d₅=a₅-a₆=-$\frac{16}{3}$．
（Ⅱ）由题意得，{a_n}的公比q大于1且a₁＞0，所以数列{a_n}是所有项全为正数的递增数列．所以A_i=a_i，B_i=a_i+1，得d_i=A_i-B_i=a_i-a_i+1=（1-q）a_i，$\frac{{d}_{i+1}}{{d}_{i}}=\frac{{（1-q）a}_{i+1}}{{（1-q）a}_{i}}=q$．
所以d₁，d₂，…，d_n-1成等比数列．
（Ⅲ）由题可知，B_i≤B_i+1．因为d_i=A_i-B_i，所以A_i=d_i+B_i，所以A_i+1-A_i=d+B_i+1-B_i＞0．所以A_i+1=a_i+1＞A_i=a_i，所以数列a₁，a₂，…，a_n-1是递增数列．又因为d₁=A₁-B₁＞0，所以a₁-B₁＞0，即B₁＜a₁＜a₂＜…＜a_n-1，所以B₁=B₂=…=B_n-1=a_n．
所以d_i+1-d_i=（a_i+1-a_n）-（a_i-a_n）=d，所以a₁，a₂，…，a_n-1成等差数

解答 解：（Ⅰ）由题意的，
因为a_n=$\frac{1}{3}$×2^n-1
所以A₅=a₅，B₅=a₆
d₅=A₅-B₅=a₅-a₆=-$\frac{16}{3}$
（Ⅱ）设数列{a_n}的公比为q
因为q＞1且a₁＞0
数列{a_n}是所有项全为正数的递增数列
所以A_i=a_i，B_i=a_i+1
所以d_i=A_i-B_i=a_i-a_i+1=（1-q）a_i
同理d_i+1=A_i+1-B_i+1=a_i+1-a_i+2
所以$\frac{{d}_{i+1}}{{d}_{i}}=\frac{（1-q）{a}_{i+1}}{（1-q）{a}_{i}}=q$
所以d₁，d₂，…，d_n-1成等比数列
（Ⅲ）设数列d₁，d₂，…，d_n-1公差为d，d＞0
因为A_i+1=max{A_i，a_i+1}
所以A_i+1≥A_i
同理B_i=min{B_i+1，a_i+1}
所以B_i≤B_i+1
因为d_i=A_i-B_i
所以A_i=d_i+B_i
同理，A_i+1=d_i+1+B_i+1=d_i+d+B_i+1（i+1≤n-1，i∈N^*）
所以A_i+1-A_i=d+B_i+1-B_i＞0
所以a_i+1=A_i+1＞A_i=a_i
所以a_i+1＞a_i
所以数列a₁，a₂，…，a_n-1是递增数列
又因为d₁=A₁-B₁＞0
所以a₁-B₁＞0，即B₁＜a₁＜a₂＜…＜a_n-1
所以B₁=B₂=…=B_n-1=a_n
所以d_i=a_i-a_n，
同理d_i+1=A_i+1-B_i+1=a_i+1-a_n
所以d_i+1-d_i=a_i+1-a_i=d
所以a₁，a₂，…，a_n-1成等差数列

点评 本题属于创新题，难度偏大．考察学生对新概念的理解和运用，要求学生有较高的数学综合应用能力．本题主要以等差数列和等比数列为框架，考察学生对于等比等差数列的单调性的判断，以及用定义法证明等比数列和等差数列．