Question

已知函数是奇函数，
（1）求常数m的值；
（2）求f （x）的值域；
（3）证明f（x）在 （-∞，0）上是减函数．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函数的定义域，然后根据奇函数的定义建立等式关系，即可求出m的值；
（2）将3^x用y表示表示，然后根据3^x的有界性建立不等关系，可求出y的取值范围，即为函数的值域；
（3）设 x₁＜x₂＜0，然后计算f（x₁）-f（x₂），通过通分化简变形从而确定符号，根据函数的单调性的定义可得结论．
解答：解：（1）定义域  （-∞，0）∪（0，+∞）（1分）
是奇函数 
且

∴m=1     （3分）
（2）
由得
∴y＜-1或y＞1
值域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．（4分）
（3）设 x₁＜x₂＜0，（1分）
则=（2分）
∵3＞1，x₁＜x₂＜0，
∴（2分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
函数在（-∞，0）上是减函数．（2分）
点评：本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数的值域和函数的单调性的判定，属于中档题．