Question

22. 设动点P到两定点F₁(－l，0)和F₂(1，0)的距离分别为d₁和d₂，∠F₁PF₂＝2θ，且存在常数λ(0＜λ＜1)，使得d₁d₂ sin²θ＝λ.

   （1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；

   （2）如图，过点F₂的直线与双曲线C的右支交于A、B两点.问：是否存在λ，使△F₁AB是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：(1)△PF₁F₂中，|F₁F₂|=2

(d₁-d₂)2=4-4λ

(小于2的常数)

故动点P的轨迹C是以F₁、F₂为焦点，实轴长的双曲线。

方程为.

(2)方法一：在△AF₁B中，设|AF₁|=d₁, |AF₂|=d₂, |BF₁|=d₃, |BF₂|=d₄.

假设△AF₁B为等腰直角三角形，则

由②与③得d₂=2a,

则

由⑤得d₃d₄=2λ,

,

故存在满足题设条件。

方法二：(1)设△AF₁B为等腰直角三角形，依题设可得

,

所以，.

则                                 ①

由,可设|BF₂|=d,

则，.

则          ②

由①②得.                            ③

根据双曲线定义可得，，

平方得：                    ④

由③④消去d可解得，

故存在满足题设条件。