Question

1．设$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^3}，x＜a\\{x^2}，x≥a.\end{array}\right.$若存在实数b，使得函数g（x）=f（x）-b有两个零点，则a的取值范围是（-∞，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^3}，x＜a\\{x^2}，x≥a.\end{array}\right.$ 的图象和直线y=b有2个交点，分类讨论、数形结合求得a的取值范围．

解答 解：由题意可得函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^3}，x＜a\\{x^2}，x≥a.\end{array}\right.$ 的图象
和直线y=b有2个交点．
当a＞1时，f（x）的图象如图（1）所示，
a³≥a²，存在实数b∈[a²，a³），
使f（x）的图象和直线y=b有2个交点．
当a∈[0，1]时，a²≥a³，f（x）的图象如图（2）所示，
f（x）在R上单调递增，
不存在实数b，使f（x）的图象和直线y=b有2个交点．
当a＜0时，f（x）的图象如图（3）所示，
存在实数b∈（0，a² ]，使f（x）的图象和直线y=b有2个交点．
综上可得，a的范围为：（-∞，0）∪（1，+∞），
故答案为：（-∞，0）∪（1，+∞）．

点评 本题主要考查函数零点和方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．