Question

9．如图，四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=1，SD=$\sqrt{7}$．
（1）证明：平面SAB⊥平面ABCD；
（2）求点A到平面SDC的距离．

Answer 1

分析 （1）如图取AB的中点O，连接OD、SO，由矩形的性质可得：OD=BC=2．由侧面SAB为等边三角形，AB=2，可得SO⊥AB，且SO=$\sqrt{3}$，SD=$\sqrt{7}$，利用SO²+OD²=SD²，可得SO⊥OD，可得SO⊥平面ABCD，即可证明．
（2）由（1）可得：SO⊥平面ABCD，可得CD⊥SD．设点A到平面SDC的距离为h，利用V_S-ADC=V_A-SDC，即可得出．

解答 （1）证明：如图取AB的中点O，连接OD、SO，
∴四边形BCDO为矩形，∴OD=BC=2．
∵侧面SAB为等边三角形，AB=2，
∴SO⊥AB，且SO=$\sqrt{3}$，SD=$\sqrt{7}$，
可得SO²+OD²=SD²，
∴SO⊥OD，
∴SO⊥平面ABCD，又SO?平面SAB．
∴平面SAB⊥平面ABCD．
（2）由（1）可得：SO⊥平面ABCD，∴SO⊥CD，又CD⊥OD，
∴CD⊥SD．
∴S_△SDC=$\frac{1}{2}SD•DC$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．S_△ADC=$\frac{1}{2}DC•BC$=1．
设点A到平面SDC的距离为h，由V_S-ADC=V_A-SDC，
∴$\frac{1}{3}{S}_{△ADC}•SO$=$\frac{1}{3}{S}_{△SDC}•h$，
∴$\frac{1}{3}×1×\sqrt{3}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{7}}{2}•h$，
∴$h=\frac{2\sqrt{21}}{7}$，即点A到平面SDC的距离为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、等边三角形与矩形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．