Question

定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且x∈（0，1）时，f（x）=

2x

4x+1

．
（1）求f（x）在-1，1上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并给予证明．

Answer 1

分析：（1）先设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），利用已知函数解析式及函数是奇函数，可得函数解析式，再求出x=0或x=±1时的解析式，即可得到结论；
（2）利用单调性的证题步骤，结合指数函数的单调性，即可得到结论．

解答：解：（1）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1）．
∵f（x）为奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=

2-x

4-x+1

=-

2x

4x+1

．
又f（0）=-f（-0）=-f（0），∴f（0）=0，
f（-1）=f（-1+2）=f（1），f（-1）=-f（1）．
∴f（1）=-f（-1）=f（-1）=0．
∴f（x）=

- 2x 4x+1  ，x∈(-1，0) 0    ，x=0或=±1 2x 4   ，x∈(0，1)

（2）f（x）在（0，1）上是减函数．
证明如下：设0＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

(2x2-2x1)(2x12x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

，
∵x₁＜x₂，∴2^x₁＜2^x₂，∴2^x₂-2^x₁＞0．
又当0＜x₁，x₂＜1时，2^x₁×2^x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，1）上单调递减．

点评：本题考查函数解析式的求解，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．