Question

设直线l：y=k（x+1）（k≠0）与椭圆3x²+y²=a²（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．
（1）证明：a2＞

3k2

3+k2

；
（2）若

.

AC

=2

.

CB

，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．

Answer 1

（1）证明：由y=k（x+1）（k≠0）得x=

1

k

y-1．
并代入椭圆方程3x²+y²=a²消去x得（3+k²）y²-6ky+3k²-k²a²=0   ①
∵直线l与椭圆相交于两个不同的点得△=36k²-4（3+k²）（3k²-k²a²）＞0，
∴a2＞

3k2

3+k2

．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由①，得y1+y2=

6k

3+k2

，②
∵

AC

=2

CB

，而点C（-1，0），
∴（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂），
得y₁=-2y₂代入②，得y2=

-6k

3+k2

，③
∴△OAB的面积 S=

1

2

|OC|•|y2-y1|=

3

2

|y2|=

9|k|

3+k2

≤

9|k|

2 3 |k|

=

3 3

2

，当且仅当k²=3，即k=±

3

时取等号．
把k的值代人③可得y2=±

3

，
将

k= 3 y2=- 3

及

k=- 3 y2= 3

这两组值分别代入①，均可解出a²=15．
∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是3x²+y²=15．