Question

设直线l：y=k（x+1）（k≠0）与椭圆3x²+y²=a²（a＞0）相交于A，B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．
（1）证明：a²＞

3k2

3+k2

（2）若k=

3

且

AC

=2

CB

，求△OAB的面积及椭圆方程．

Answer 1

分析：（1）由直线l与椭圆相交于A，B两个不同的点，故联立直线方程和椭圆方程所得方程组有两组根，进而可得方程（

3

k2

+1）y²-

6

k

y+3-a²=0的△＞0，化简后可得结论；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

AC

=2

CB

，可得y₁=-2y₂，由韦达定理可得y₁+y₂=

3

，求出y₂后，可得△OAB的面积及椭圆方程．

解答：证明：（1）由

y=k(x+1) 3x2+y2=a2

得：
（

3

k2

+1）y²-

6

k

y+3-a²=0…①
∵直线l与椭圆相交于A，B两个不同的点，
∴方程①有两个不等的实根，
即△=(

6

k

)2-4(

3

k2

+1)(3-a2)＞0
即(

3

k2

+1)a2＞3
即a²＞

3k2

3+k2

解：（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
当k=

3

时，方程①可化为：2y²-2

3

y+3-a²=0
∴y₁+y₂=

3

…②
又∵

AC

=2

CB

，C点坐标为（-1，0）
∴（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂），
即y₁=-2y₂…③
由②③得：y₂=-

3

，y₁=2

3

∴△OAB的面积S=

1

2

•|OC|•|y₁-y₂|=

3 3

2

将y₂=-

3

，代入2y²-2

3

y+3-a²=0得：a²=15
故椭圆的方程为：3x²+y²=15

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线，椭圆的标准方程，是高考的压轴题型，运算量大，综合性强，属于难题．