Question

设函数．
（1）当a=2时，求f（x）的最大值；
（2）令（0＜x≤3），以其图象上任意一点P（x，y）为切点的切线的斜率恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=0时，方程mf（x）=x²有唯一实数解，求正数m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a=2代入函数，对f（x）进行求导，求出其极值，根据导数来求最值；
（2）对F（x）进行求导，求过点P（x，y）的切线，求出k用x0的表达出来，再根据斜率恒成立，从而求出a的范围；
（3）当a=0时，方程mf（x）=x²即x²-mx-mlnx=0，令g（x）=x²-mx-mlnx，对其进行求导，利用导数来画出函数的草图，从而来求解；
解答：解（1）a=2时，f（x）=lnx+x-x²，…（1分），
解f′（x）=0得x=1或（舍去）…（2分），
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调增加，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调减少…（3分），
所以f（x）的最大值为f（1）=0…（4分）
（2）（0＜x≤3），（0＜x≤3）…（6分）
由恒成立得恒成立…（7分）
因为，等号当且仅当x=1时成立…（8分），
所以…（9分）
（3）a=0时，方程mf（x）=x²即x²-mx-mlnx=0，
设g（x）=x²-mx-mlnx，
解…（10分），得（＜0舍去），，
类似（1）的讨论知，g（x）在x∈（0，x₂）单调增加，
在x∈（x₂，+∞）单调减少，最大值为g（x₂）…（11分），
因为mf（x）=x²有唯一实数解，g（x）有唯一零点，所以g（x₂）=0…（12分），
由得x₂+2lnx₂-1=0，
因为h（x）=x+lnx-1单调递增，且h（1）=0，
所以x₂=1…（13分），
从而m=1…（14分）．
点评：此题考查利用导数来研究函数的切线，最值和函数的单调性，是高考必考的一类题，此题是一道中档题．