Question

二次方程ax²-

2

bx+c=0，其中a、b、c是一钝角三角形的三边，且以b为最长．
①证明方程有两个不等实根；
②证明两个实根α，β都是正数；
③若a=c，试求|α-β|的变化范围．

Answer 1

分析：（1）证明方程有两个不等实根，即只要验证△＞0即可．（2）要证α，β为正数，只要证明αβ＞0，α+β＞0即可．
（3）根据二次方程根与系数的关系，将|α-β|转化为某变量的函数，再求它的变化范围．

解答：解：①在钝角△ABC中，b边最长．∴-1＜cosB＜0且b2=a2+c2-2accosB，△=(-

2

b)2-4ac=2b2-4ac
=2（a²+c²-2accosB）-4ac=2（a-c）²-4accosB＞0．（其中2（a-c）²≥0且-4accosB＞0
∴方程有两个不相等的实根．
②α+β=

2 b

a

＞0，αβ=

c

a

＞0，∴两实根α、β都是正数．
③a=c时，

α+β= 2 b a αβ= c a =1

，∴(α-β)2=a2+β2-2αβ=(α+β)2-4αβ=

2b2

a2

-4
=

2(a2+c2-2accosB)-4a2

a2

=-4cosB，∵-1＜cosB＜0，∴0＜-4cosB＜4，因此0＜|α-β|＜2．

点评：本题是以一元二次方程作为，考查解三角形的有关定理，余弦定理作为研究三角形边角关系的一大工具，应用广泛．通过余弦定理沟通了三角函数与三角形有关性质，在研究较复杂的三角形问题时，常需正、余弦定理联袂出场、密切协作，方能解决问题．