Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，则平面AB₁C与平面A₁C₁D间的距离（　　）

• A．

  3

  6

• B．

  3

  3

• C．

  2 3

  3

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：连接D₁B，可以证明与面AB₁C，面A₁C₁D都垂直，设分别交于M，N，MN为平面AB₁C与平面A₁C₁D的距离． 可求D₁N=BM=

3

3

，从而MN=BD₁-BM-D₁N=

3

3

．

解答：解：连接D₁B，与面AB₁C与平面A₁C₁D分别交于M，N．
∵DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴DD₁⊥AC，又∵AC⊥BD，∴AC⊥平面D₁DB
∴BD₁⊥AC，
同理可证BD₁⊥AB₁，又AC∩AB₁=A，∴BD₁⊥面AB₁C；
同理可证，BD₁⊥面C₁A₁D．∴MN为平面AB₁C与平面A₁C₁D的距离
∵△AB₁C为正三角形，边长为

2

，三棱锥B-AB₁C 为正三棱锥，∴M为△AB₁C的中心，MA=

3

3

×

2

=

6

3

BM=

AB2-AM2

=

3

3

，同理求出D₁N=BM=

3

3

，又BD₁=

3

，∴MN=BD₁-D₁N-BM=

3

3

．
故选：B．

点评：本题考查平行平面的距离计算，采用了间接法，转化为点面距离．本题中蕴含着两个结论①平面AB₁C与∥平面A₁C₁D．②平面AB₁C与平面A₁C₁D面AB₁D将体对角线分成三等分．