Question

已知A、B两地相距200千米，一只船从A地逆水到B地，水速为8千米/小时，船在静水中的速度为ν千米/小时（8＜v≤v₀）．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当ν=12千米/小时，每小时的燃油费为720元，为了使全程燃油费最省，船的实际速度应为多少？

Answer 1

考点：向量加减混合运算及其几何意义

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：设出正比例函数L=kv²，代入v=12，L=720，求出k，即可得到L与v的关系式；确定函数解析式，利用单调求最值，从而可得结论．

解答： 解：设每小时的燃料费为y₁，比例系数为k（k＞0），则y1=kv2；1分
当v=12时，y₁=720，即720=k•12²，解得k=5，∴y₁=5v²； 3分
设全程燃料费为y，依题意得
y=y₁•

200

v-8

=

1000v2

v-8

=1000（v+8+

64

v-8

）=1000（v-8+

64

v-8

+16）≥1000（2

(v-8)• 64 v-8

+16）=32000，6分
当v-8=

64

v-8

，即v=16时取等号；
∵8＜v≤v₀，∴当v_°≥16时，即v=16，全程燃料费最省；   9分
当v_°＜16时，令t=v-8+

64

v-8

，
任取8＜v₁＜v₂≤v₀，则0＜v₁-8＜8，0＜v₂＜8，
∴1-

64

(v1-8)(v2-8)

＜0，
∴t₁-t₂=（v₁-v₂）（1-

64

(v1-8)(v2-8)

）＞0，
即t=v-8+

64

v-8

在（8，v_°]上为减函数，当v=v₀时，y取最小值

1000v02

v0-8

；   13分
综上：当v_°≥16时，v=16km/h，实际船速为8km/h，全程燃料费最省，为32000元，
当v_°＜16时，令v=v₀，实际船速为（v₀-8）km/h时，全程燃料费最省，为

1000v02

v0-8

元.14分．

点评：本题考查了函数解析式的应用问题，也考查了函数的单调性以及分析问题、解决问题的能力，是中档题．