Question

【题目】已知椭圆：，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为坐标原点，点分别在椭圆和上，，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

试题分析：（1）求出椭圆的长轴长，离心率，根据椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率，即可确定椭圆的方程；（2）设两点的坐标分别记为，，由及（1）知，三点共线且点不在轴上，因此可设直线的方程为，分别与椭圆和联立，求出的横坐标，利用，即可求得直线的方程.

试题解析：（1）由已知可设椭圆的方程为（），其离心率为，

故，则，故椭圆的方程为.

（2）（方法一）两点的坐标分别记为，，由及（1）知，三点共线且点不在轴上，因此可设直线的方程为，

将代入椭圆方程中，得，所以，

将代入中，得，所以，

又由得，即，解得，

故直线的方程为或.

（方法二）A，B两点的坐标分别记为，，由及（1）知，三点共线且点不在轴上，因此可设直线的方程为，

将代入椭圆方程中，得，所以，

由得，，

将代入椭圆C2的方程中，得，即，

解得，故直线AB的方程为或.