题目内容
已知函数f（x）=（x-1）2，数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q（q∈R且q≠1）的等比数列．若a1=f（d-1），a3=f（d+1），b1=f（q-1），b3=f（q+1）
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设数列{Cn}对任意正整数n均有
+
+…+
=an+1成立，求{Cn}的通项；
（3）试比较
与
的大小，并证明你的结论．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设数列{Cn}对任意正整数n均有
| C1 |
| b1 |
| C2 |
| b2 |
| Cn |
| bn |
（3）试比较
| 3bn-1 |
| 3bn+1 |
| an+1 |
| an+2 |
分析：（1）通过已知条件直接求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）通过
+
+…+
=an+1，列出n-1的表达式，作差即可求{Cn}的通项公式；
（3）分别计算
与
的表达式，通过二项式定理，证明判断的结果即可．
（2）通过
| C1 |
| b1 |
| C2 |
| b2 |
| Cn |
| bn |
（3）分别计算
| 3bn-1 |
| 3bn+1 |
| an+1 |
| an+2 |
解答：解：（1）∵数列{an}是公差为d的等差数列a1=（d-2）2，a3=d2
∴a3-a1=4d-4=2d∴d=2，a1=0∴an=2n-2…（2分）
同理：bn=3n-1…（4分）
（2）∵
+
+…+
=an+1
∴
+
+…+
=an(n≥2)
以上两式相减：
=an+1-an(n≥2)
∴
=2(n≥2)⇒Cn=2bn(n≥2)…（6分）
∴Cn=2•3n-1（n≥2），经检验，n=1仍然成立
∴Cn=2•3n-1…（8分）
（3）
=
；
=
∴
-
=
-
=
…（9分）
当n=1时，
=
当n≥2时，3n=（1+2）n=Cn020+Cn121+…+Cnn2n＞2n+1
∴
＞
综上所述：n=1时，
=
，
n≥2时，
＞
…（12分）
∴a3-a1=4d-4=2d∴d=2，a1=0∴an=2n-2…（2分）
同理：bn=3n-1…（4分）
（2）∵
| C1 |
| b1 |
| C2 |
| b2 |
| Cn |
| bn |
∴
| C1 |
| b1 |
| C2 |
| b2 |
| Cn-1 |
| bn-1 |
以上两式相减：
| Cn |
| bn |
∴
| Cn |
| bn |
∴Cn=2•3n-1（n≥2），经检验，n=1仍然成立
∴Cn=2•3n-1…（8分）
（3）
| 3bn-1 |
| 3bn+1 |
| 3n-1 |
| 3n+1 |
| an+1 |
| an+2 |
| n |
| n+1 |
∴
| 3bn-1 |
| 3bn+1 |
| an+1 |
| an+2 |
| 3n-1 |
| 3n+1 |
| n |
| n+1 |
| 3n-2n-1 |
| (3n+1)•(n+1) |
当n=1时，
| 3bn-1 |
| 3bn+1 |
| an+1 |
| an+2 |
当n≥2时，3n=（1+2）n=Cn020+Cn121+…+Cnn2n＞2n+1
∴
| 3bn-1 |
| 3bn+1 |
| an+1 |
| an+2 |
综上所述：n=1时，
| 3bn-1 |
| 3bn+1 |
| an+1 |
| an+2 |
n≥2时，
| 3bn-1 |
| 3bn+1 |
| an+1 |
| an+2 |
点评：本题考查数列通项公式的求法，二项式定理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．
练习册系列答案
轻巧夺冠周测月考直通名校系列答案
相关题目
已知函数f（x）=x2-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，若数列{
}的前n项和为Sn，则S2010的值为（ ）
| 1 |
| f(n) |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|