Question

19．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为2，侧楞长为$\sqrt{2}$，D为A₁C₁中点．
（1）求证：BC₁∥平面AB₁D；
（2）求证：平面AB₁D⊥平面AA₁C₁C；
（3）求点B到平面AB₁D的距离．

Answer 1

分析 （1）连结A₁B与AB₁交于E，与偶三角形的中位线的性质可得BC₁∥DE，再根据直线和平面平行的判定定理，证明BC₁∥平面AB₁D．
（2）证明B₁D⊥平面AA₁C₁C，即可证明平面AB₁D⊥平面AA₁C₁C；
（3）过点D作DH⊥A₁B₁，利用平面和平面垂直的性质可得DH⊥平面ABB₁A₁ ，DH为三棱锥D-ABB₁的高，求出VD-ABB1，利用等体积求得结果．

解答 （1）证明：连结A₁B与AB₁交于E，连结DE，则E为A₁B的中点，故DE为△A₁BC₁的中位线，
∴BC₁∥DE．
又DE?平面AB₁D，BC₁?平面AB₁D，
∴BC₁∥平面AB₁D．（6分）
（2）证明：∵D为A₁C₁中点，
∴B₁D⊥A₁C₁，
∵B₁D⊥A₁A，A₁C₁∩A₁A=A₁，
∴B₁D⊥平面AA₁C₁C
∵B₁D?平面AB₁D，
∴平面AB₁D⊥平面AA₁C₁C
（3）解：过点D作DH⊥A₁B₁，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴AA₁⊥平面A₁B₁C₁，AA₁⊥DH，AA₁∩A₁B₁=A₁，
∴DH⊥平面ABB₁A₁．DH为三棱锥D-ABB₁的高．
∵${S}_{△AB{B}_{1}}$且DH=A₁Dsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${V}_{D-AB{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∵${S}_{△A{B}_{1}D}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$
∴点B到平面AB₁D的距离=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{6}×3}{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，平面和平面垂直的证明，求棱锥的体积，属于中档题．