Question

已知函数f（x）=ax-1n（1+x²）
（1）当时，求函数f（x）在（0，+∞）上的极值；
（2）证明：当x＞0时，1n（1+x²）＜x；
（3）证明：，其中e为自然对数的底数）

Answer 1

【答案】分析：（1）当时，先求出f′（x）==，再由f′（x）=0，得，x₂=2，由此能求出当时，求函数f（x）在（0，+∞）上的极值．
（2）令g（x）=x-ln（1+x²），=≥0，故g（x）在（0，+∞）上是增函数，由此能够证明当x＞0时，1n（1+x²）＜x．
（3）由ln（x²+1）＜x，取x=，，…，，能够证明，其中e为自然对数的底数）．
解答：（1）解：当时，f（x）=，
∴f′（x）==，
由f′（x）=0，得，x₂=2，
∵f（x）在（0，）上递增，在（，2）递减，在（2，+∞）递增，
∴f（x）极大值为f（）=，f（x）极小值为f（2）=．
（2）证明：令g（x）=x-ln（1+x²），
=≥0，
∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴g（x）＞g（0）=0，
∴ln（1+x²）＜x．
（3）证明：由（2）得ln（x²+1）＜x，
取x=，，…，，
∴ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）
＜++…+
=（1-）+（）+…+（）
=1-＜1，
∴，其中e为自然对数的底数）．
点评：本题考查函数的极值的求法，考查不等式的证明，综合性强，难度大，具有一定的探索性，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．