Question

【题目】已知三棱锥D—ABC的四个顶点在球O的球面上，若AB＝AC＝BC＝DB＝DC＝1，当三棱锥D—ABC的体积取到最大值时，球O的表面积为(　　　)

A. B. 2πC. 5πD.

Answer 1

【答案】A

【解析】

三棱锥D-ABC的体积取到最大值时，平面平面DBC，取BC的中点G，连接AG，DG，分别取△ABC与△DBC的外心E，F，分别过E，F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体ABCD的球心，求出外接球的半径，然后求解球的表面积．

如图，

当三棱锥的体积取到最大值时，则平面ABC与平面DBC垂直，

取BC的中点G，连接AG，DG，则，

分别取与的外心E，F，

分别过E，F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，

则O为四面体ABCD的球心，

由，得正方形OEGF的边长为，则OG＝

∴四面体的外接球的半径R

∴球O的表面积为＝，故选A.