Question

【题目】已知函数.（为自然对数的底数）

（1）当时，求在处的切线方程，并讨论的单调性；

（2）当时，，求整数的最大值.

Answer 1

【答案】(1)；在上单调递增；(2)2.

【解析】

（1）利用导数的几何意义，由点斜式即可求得切线方程；对函数求导，根据导数的正负，判断的单调性；

（2）对参数进行分类讨论，对函数进行二次求导，根据函数单调性求参数范围即可.

（1）当时，，；

容易知，

故可得切线方程为；

此时又因为，令，解得，

故在区间单调递减，在区间单调递增，

故，

故在上单调递增；

（2）因为当时，恒成立，

即可，恒成立.

又.

由（1）可知在区间单调递减，在区间单调递增，

故.

①当，即时，，故在单调递增.

故.

若满足题意，只需，解得.

故此时；

②当，即时，

因为在区间单调递增，且，

⒈当时，，

此时在区间单调递增，

要满足题意只需，解得,

故此时只需.

⒉当时，因为在区间单调递增，

故一定存在，，

且使得在区间单调递减，单调递增.

故

要满足题意，只需，

即.结合，

可得只需恒成立即可.

整理得只需在时恒成立即可.

显然是关于且开口向下的二次函数，

无法满足题意.

综上所述：满足题意的范围是.

又因为，且，

故满足题意的整数的最大值为.